ENSCK 2020 Mathématiques

Question 1 :

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites numériques définies par : $u_0 = 1, u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n+2}$ et $v_n = \frac{u_n}{u_n+1}$

A) $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique

B) $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique

C) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n = \frac{1}{2^{n+1}-1}$

D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

Question 2 :

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique de terme général $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} dx$

A) $u_0 + u_1 = 1$

B) $u_0 = \ln(1+e) - \ln2$

C) $u_1 = 1 - \ln(1+e)$

D) $(\forall n \in \mathbb{N}^*), u_{n+1} + u_n = \frac{1-e^{-n}}{n}$

Question 3 :

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites définies par : $u_0 = 3, u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 4}{2u_n}$ et $v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 2}$

A) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n \leq 2$

B) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n > 2$

C) $(\forall n \in \mathbb{N}), v_{n+1} = v_n^2$

D) $(\forall n \in \mathbb{N}), v_n = v_0^{2n}$

Question 4 :

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ on pose $p(z) = z^3 + 3z^2 + 6z + 4$ et soient $A, B$ et $C$ les points d'affixes $z_A = -1 + i\sqrt{3}, z_B = -1 - i\sqrt{3}$ et $z_C = 2$ respectivement.

A) Le nombre $-2i$ est solution de l'équation

B) $(\forall z \in \mathbb{C}), p(z) = (z + 1)(z^2 - 2z + 4)$

C) $z_A$ et $z_B$ sont solutions de l'équation : $z^2 + 2z + 4 = 0$

D) Le triangle $ABC$ est équilatéral

Question 5 :

On pose $z = \sqrt{2 + \sqrt{3}} - i\sqrt{2 - \sqrt{3}}$. La forme exponentielle de $z^2$ est :

A) $4e^{i\frac{\pi}{6}}$

B) $4e^{i\frac{-\pi}{6}}$

C) $4e^{i\frac{5\pi}{6}}$

D) $4e^{i\frac{-5\pi}{6}}$

Question 6 :

Pour le même nombre complexe $z$, la forme exponentielle de $z$ est :

A) $4e^{i\frac{\pi}{6}}$

B) $4e^{i\frac{-5\pi}{12}}$

C) $4e^{i\frac{5\pi}{12}}$

D) $2e^{i\frac{-\pi}{12}}$

Question 7 :

L'angle dont les nombres $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ et $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ sont respectivement le cosinus et le sinus est :

A) $-\frac{\pi}{12}$

B) $\frac{\pi}{12}$

C) $-\frac{5\pi}{12}$

D) $\frac{5\pi}{12}$

Question 8 :

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x - \frac{4e^x}{1+e^x}$. La courbe représentative de $f$ admet au voisinage de $+\infty$ une asymptote oblique d'équation :

A) $y = x - 4$

B) $y = x$

C) $y = x - 1$

D) $y = x + 4$

Question 9 :

Soit $\omega$ un réel strictement positif et $z$ un nombre complexe tel que $z = \frac{1+i\omega}{1-i\omega}$

A) La partie réelle de $z$ est égale à 1

B) Le module de $z$ est égal à 1

C) |$\frac{(1+i\omega)^2}{1-i\omega}| = \sqrt{1+\omega^2}$

D) |$\frac{1+i\omega}{(1-i\omega)^2}| = |\frac{(1+i\omega)^2}{1-i\omega}$|

Question 10 :

Soit, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ les nombres complexes : $z_1 = 1 - i\sqrt{3}$ et $z_2 = -2 + 2i$

A) $z_1 = 2e^{\frac{i\pi}{3}}$

B) $z_1 = 2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}}$

C) $z_2 = 2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}}$

D) $z_2 = \sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}}$

Question 11 :

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

A) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

B) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$

C) $\int_0^1 f(x) dx = \ln(2) - \ln(1 + e^{-1})$

D) $(\forall x \in \mathbb{R}), f(-x) = f(x)$

Question 12 :

Soit $F$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $F(x) = \ln(x^2 + 1) + x$

A) $(\forall x \in \mathbb{R}), F'(x) = \frac{1}{x^2+1} + 1$

B) $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$

C) $\lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty$

D) $\lim_{x \to -\infty} F(x) = +\infty$

Question 13 :

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = x - \frac{\ln x}{x^2}$

A) $\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty$

B) $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$

C) $g'(x) = \frac{x^3 - 1 + 2\ln x}{x^3}$

D) $\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e}$

Question 14 :

Soit $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_n(x) = \sin^{n+1}(2x)$; $n \in \mathbb{N}$

A) $(\forall n \in \mathbb{N})$; $f_n(x + \frac{\pi}{2}) = -f_n(x)$

B) $(\forall n \in \mathbb{N})$ $(\forall x \in [0, \pi])$; $f_n(x) \geq 0$

C) $(\forall n \in \mathbb{N})$; $f_n(\frac{\pi}{2} - x) = (-1)^{n+1}f_n(\frac{\pi}{2} + x)$

D) $f'_n(x) = 2(n+1)\sin^n(2x)$

Question 15 :

Soit $g$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par : $g(x) = \ln(\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1})$ et $D$ son domaine de définition. On a :

A) $D = ]-\infty, 0]$

B) $g'(x) = \frac{-2e^x}{1-e^{2x}}$

C) $(\forall x \in D)$ on a : $g'(x) > 0$

D) $\ln(\frac{e^-1}{1+e}) = -1$

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